Tensor Analysis-Eigenvalues of Tensors(2)

지난 시간에는 텐서의 고윳값과 고유 벡터, H-eigenvalue, H-eigenvector에 대해서 이야기를 했었다. 고윳값과 고유 벡터는 characteristic value, characteristic vector 라고 불리기도 한다. 우리는 행렬 $A$의 고윳값과 고유벡터가 만족시키는

\[ A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}\]

의 관계에서부터

\[ \det (A- \lambda I ) = 0 \]

를 쉽게 유추할 수 있고, 이 식을 만족시키는 $\lambda$와 그 때의 $\mathbf{x}$를 찾는 방법으로 행렬 $A$의 고윳값과 고유벡터를 구한다.

이 때 $\det (A- \lambda I )$를 $A$의 특성 다항식(characteristic polynomial)이라 하고 $p_{A} (\lambda )$로 표기한다. 즉, $A$의 고윳값은 특성 방정식 $p_{A} (\lambda ) = 0$의 해가 된다.

그렇다면, 텐서 $\mathscr{A}$의 특성 다항식은 어떤 형태를 하고, 어떤 성질을 가지고 있을까?

2.1. Eigenvalues and H-Eigenvalues

2.1.3. Characteristic Polynomial

이 책에서는 텐서의 특성 다항식을 resultant로 정의하고 있다. 정확히 말하면 텐서의 고윳값을 구하는 식인

\[\left(\mathscr{A}\mathbf{x}^{m-1} \right)_i = \lambda x_i^{m-1}\]

에서 $n$개의 homogeneous polynomials의 resultant로 정의하고 있다. 이를 직관적으로 이해하자면, $n$개의 homogeneous polynomials의 각각의 근을 모두 가지는 어떠한 polynomial을 상상하면 충분할 것 같다. 이를 행렬의 경우와 비슷하게 $\phi_{\mathscr{A}} (\lambda )$로 표기한다.

잠깐 아주 간단한 행렬의 케이스로 돌아가보자.

\[ A = \begin{bmatrix} a & b \cr c & d \end{bmatrix} \]

우리는 이 행렬의 행렬식 $\det (A) = ad - bc$ 라는 것을 너무나도 잘 알고 있다. 그럼 이 $A$의 특성 다항식을 생각해보자.

\[ \begin{align*} p_{A} (\lambda ) &= \det (A - \lambda I) \cr &= det \left( \begin{bmatrix} a - \lambda & b \cr c & d - \lambda \end{bmatrix} \right) \cr &= (a - \lambda)(d - \lambda) - bc \cr &= \lambda^{2} -(a+d)\lambda +(ad-bc) \end{align*}\]

뭔가 감이 오는가? 행렬 $A$의 행렬식은 특성 다항식 $p_{A} (\lambda )$의 상수항, 즉 $p_{A} (\lambda )$에 $\lambda = 0$을 대입한, 또 다른 표현으로는

\[ A\mathbf{x} = 0 \]

의 resultant가 된다.

이와 마찬가지로 텐서 $\mathscr{A}$의 determinant는 텐서의 특성 다항식 $\phi_{\mathscr{A}} (\lambda )$의 상수항, 즉 $\phi_{\mathscr{A}} (0 )$ 이다. 이를 $\det (\mathscr{A})$로 표기한다.

그리고 행렬의 대각합(trace) $\mathrm{tr} (A)$ 와 똑같이, 텐서의 대각합은 다음과 같다.

\[ \mathrm{tr} (\mathscr{A}) = \sum\limits_{i=1}^{n} a_{ii\cdots i} \]

행렬의 경우와 마찬가지로, 텐서의 characteristic polynomial, determinant, trace의 관계에 관한 몇 가지 중요한 성질이 있다.

Theorem 2.12.

Suppose that $\mathscr{A} \in T_{m,n}$. Then we have the following conclusions:

1. A complex number $\lambda$ is an eiganvalue of $\mathscr{A}$ if and only if it is a root if the chatacteristic polynomial $\pi_{\mathscr{A}} (\lambda)$.
2. The number of eigenvalues of $\mathscr{A}$ is $d = n(m-1)^{n-1}$. their product is equal to $\det (\mathscr{A})$.
3. If $\mathscr{A}$ is diagonal, then $\mathscr{A}$ has $n$ H-eigenvalues, which are its diagonal entries, with corresponding unit vectors as theig H-eigenvectors. Each of these H-eigenvalues is of multiplicity $(m-1)^{n-1}$, and $\mathscr{A}$ has no N-eigenvalues.
4. The sum of all the eigenvalues of $\mathscr{A}$ is \[ (m-1)^{n-1} \mathrm{tr} (\mathscr{A}) \]

Theorem 2.13.

Suppose that $\mathscr{A} \in T_{m,n}$. Then we have the following conclusions.

1. The eigenvalues of $\mathscr{A}$ lie in the union of n disks in $\mathbb{C}$. These $n$ disks have the diagonal entries of $\mathscr{A}$ as their centers, and the sums of the asolute values of the off-diagonal entries as their radii.
2. If ons of these $n$ disks is disjoint with the order $n-1$ disks, then there are exactly $(m-1)^{n-1}$ eigenvalues which lie in this disk, and when $m$ is even there is at least one H-eigenvalue which lies in this disk.
3. If $k$ of these $n$ disks are connected but disjoint with the order $n-k$ disks, then there are axactly $k(m-1)^{n-1}$ eigenvalues which lie in the union of there $k$ disks. Moreover when $m$ is even at least one H-eigenvalue lies in this union if one of the following three conditions holds:
   1. $k$ is odd;
   2. $k$ is even and the other $n-k$ disks are on the left side of this union;
   3. $k$ is even and the other $n-k$ disks are on the right side of this union.

2.1.4. Some Properties of Determinants

이 절에서는 텐서의 determinant의 몇 가지 기본적인 성질들을 소개한다.

Proposition 2.14.

For any $\mathscr{A} \in T_{m,n}$, the determinant of $\mathscr{A}$, termed $\det (\mathscr{A})$, is a homogeneous polynomial is the entries of $\mathscr{A}$, with the degree $d=n(m-1)^{n-1}$. The degree of $a_{i\cdots i}$ in $\det (\mathscr{A})$ is not greater than $(m-1)^{n-1}$.

Corollary 2.15.

For any real number $\alpha$, $\det (\alpha \mathscr{A}) = \alpha^{n(m-1)^{n-1}} \det (\mathscr{A})$.

Proposition 2.16.

For any $\mathscr{A} \in T_{m,n}$, $\prod\limits_{i=1}^{n} a_{i\cdots i}^{(m-1)^{n-1}}$ is a term of the homogeneous polynomial $\det (\mathscr{A})$. In partidular, is $\mathscr{A}$ is diagonal, then

\[ \det (\mathscr{A}) = \prod\limits_{i=1}^{n} a_{i\cdots i}^{(m-1)^{n-1}} \]

Proposition 2.17.

In the expression of $\det (\mathscr{A})$, except for the term

\[ \prod\limits_{i=1}^{n} a_{i\cdots i}^{(m-1)^{n-1}} \]

as specified by Proposition 2.16, the total degree with respect to $a_{1\cdots 1}, a_{2\cdots 2}, \ldots , a_{n\cdots n}$ is not greater than $n(m-1)^{n-1}-2$.

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